65028 - [CSP-S2019] 划分 partition

2048 年，第三十届 CSP 认证的考场上，作为选手的小明打开了第一题。这个题的样例有 n 组数据，数据从 1 \sim n 编号，i 号数据的规模为 a_i。

小明对该题设计出了一个暴力程序，对于一组规模为 u 的数据，该程序的运行时间为 u^2。然而这个程序运行完一组规模为 u 的数据之后，它将在任何一组规模小于 u 的数据上运行错误。样例中的 a_i 不一定递增，但小明又想在不修改程序的情况下正确运行样例，于是小明决定使用一种非常原始的解决方案：将所有数据划分成若干个数据段，段内数据编号连续，接着将同一段内的数据合并成新数据，其规模等于段内原数据的规模之和，小明将让新数据的规模能够递增。

也就是说，小明需要找到一些分界点 1 \leq k_1 \lt k_2 \lt \cdots \lt k_p \lt n，使得

\sum_{i=1}^{k_1} a_i \leq \sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i \leq \cdots \leq \sum_{i=k_p+1}^{n} a_i

注意 p 可以为 0 且此时 k_0 = 0，也就是小明可以将所有数据合并在一起运行。

小明希望他的程序在正确运行样例情况下，运行时间也能尽量小，也就是最小化

(\sum_{i=1}^{k_1} a_i)^2 + (\sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i)^2 + \cdots + (\sum_{i=k_p+1}^{n} a_i)^2

小明觉得这个问题非常有趣，并向你请教：给定 n 和 a_i，请你求出最优划分方案下，小明的程序的最小运行时间。

由于本题的数据范围较大，部分测试点的 a_i 将在程序内生成。

第一行两个整数 n, type。n 的意义见题目描述，type 表示输入方式。

1. 若 type = 0，则该测试点的 a_i 直接给出。输入文件接下来：第二行 n 个以空格分隔的整数 a_i，表示每组数据的规模。
2. 若 type = 1，则该测试点的 a_i 将特殊生成，生成方式见后文。输入文件接下来：第二行六个以空格分隔的整数 x, y, z, b_1, b_2, m。接下来 m 行中，第 i (1 \leq i \leq m) 行包含三个以空格分隔的正整数 p_i, l_i, r_i。

对于 type = 1 的 23~25 号测试点，a_i 的生成方式如下：

给定整数 x, y, z, b_1, b_2, m，以及 m 个三元组 (p_i, l_i, r_i)。

保证 n \geq 2。若 n \gt 2，则 \forall 3 \leq i \leq n, b_i = (x \times b_{i−1} + y \times b_{i−2} + z) \mod 2^{30}。

保证 1 \leq p_i \leq n, p_m = n。令 p_0 = 0，则 p_i 还满足 \forall 0 \leq i \lt m 有 p_i \lt p_{i+1}。

对于所有 1 \leq j \leq m，若下标值 i (1 \leq i \leq n)满足 p_{j−1} \lt i \leq p_j，则有

a_i = \left(b_i \mod \left( r_j − l_j + 1 \right) \right) + l_j

上述数据生成方式仅是为了减少输入量大小，标准算法不依赖于该生成方式。

输出一行一个整数，表示答案。

【样例 1 解释】

最优的划分方案为 {5,1}, {7}, {9}, {9}。由 5 + 1 \leq 7 \leq 9 \leq 9 知该方案合法。

答案为 (5 + 1)^2 + 7^2 + 9^2 + 9^2 = 247。

虽然划分方案 {5}, {1}, {7}, {9}, {9} 对应的运行时间比 247 小，但它不是一组合法方案，因为 5 \gt 1。

虽然划分方案 {5}, {1,7}, {9}, {9} 合法，但该方案对应的运行时间为 251，比 247 大。

【样例 2 解释】

最优的划分方案为 {5}, {6}, {7}, {7}, {4,6,2}, {13}, {19,9}。

【数据范围】

对于type=0的所有测试点,保证最后输出的答案\leq 4 \times 10^{18}

所有测试点满足：type \in {0,1}，2 \leq n \leq 4 \times 10^7，1 \leq a_i \leq 10^9，1 \leq m \leq 10^5，1 \leq l_i \leq r_i \leq 10^9，0 \leq x,y,z,b_1,b_2 \lt 2^{30}。

贪心、单调队列